第 3 天 · 上午 · 探究

穹顶细分：频率与径向投影

120分钟（含10分钟休息） · 讲师备课版

目标与进入条件

解释2V数的是原棱分段；用球心射线说明细分点为何需要投影。

查看上一堂学习记录，确认材料与未解决问题；第3天上午以本课材料清单及现场放行为进入条件。

每组1V/2V/3V母三角纸片、透明半球、棉线、直尺、预制滑动中点；导师准备球面模型。

导师提前试做核心活动，检查器材和文件能否离线使用；准备一份完成样例但不在学生预测前展示答案。按小组份数准备记录纸，提前确认本课替代方案。

10:00—10:10 · 10分钟

教师出示本课问题：“弦的中点，为什么没有碰到球面？”让每人先画或写预测，再请两名学生说明依据；把分歧留在板上，结课再回来检查。

10:10—10:25 · 15分钟

按原棱分段、母三角细分、球心径向投影、重连、截球的顺序讲解。nV的母三角有n²个小三角；完整球面计数和截取穹顶不可混用。

10:25—10:50 · 25分钟

在透明半球测OM与R，沿OM射线移动到M′使OM′=R；学生画出三个位置，比较随意竖直移动与径向移动。

10:50—11:00 · 10分钟

暂停操作，清点工具，离开工作台饮水与活动。现场器材由成人接管；回场先确认任务区状态。

11:00—11:40 · 40分钟

比较同半径下1V、2V、3V纸片与球面的缝隙；测量而非只凭视觉。将投影后的杆件按实测长度分类，发现并非全等。

11:40—11:55 · 15分钟

交一张生成链图及两次测量；离堂回答“更高频率一定更适合这次项目吗？”需提及材料、节点或加工代价。

11:55—12:00 · 5分钟

每人完成一句“我原来认为……，现在的证据是……”，记录一个下一步问题；整理成果、工具和文件，导师核对下一堂的进入条件。

把2V理解成两个三角或把整球20n²套在半球；用一块母三角和实际截取图纠正。

追问：“你怎样知道？”“如果条件改变，你的结论还成立吗？”教师记录学生的原话和证据，不急于替学生归纳成能力标签。

交一张生成链图及两次测量；离堂回答“更高频率一定更适合这次项目吗？”需提及材料、节点或加工代价。

评价只用于下一次教学支持，不形成孩子的固定分数或排名。

基础支持：每次只给一个操作步骤；允许搭档代写和口述，核心问题与证据要求保持一致。

进阶：推导完整球面F=20n²、E=30n²、V=10n²+2并说明限定条件。

无透明教具，用圆纸板、弦线和可移动中点进行二维截面演示，明确它只表达截面关系。

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