第一天下午｜黄金分割折纸：从黄金矩形到黄金螺旋相框

课程定位

凡朴创始人 · 土星老师带领，7—15岁混龄，约15人。大小伙伴互助，带教也是学习，保留每个孩子亲手尝试的机会。

14:00—16:00，120分钟，含10分钟休息。以一件真实作品串联观察、数学理解、折叠与设计，不把知识点变成连续做题。

学习目标： 初识黄金分割，通过面积理解勾股定理与√5；折出黄金矩形，重复细分并完成可放入画作的黄金螺旋相框。

准备

每人：20×36厘米左右的长方形纸2张、直尺、铅笔、彩笔、硬卡底板、纸角套、画卡、预折相框支架和胶棒。备大演示纸、分步样品、四块全等直角三角形面积拼图及大正方形外框、圆弧模板；圆规按孩子使用经验提供。底板、角套与支架提前裁好，让课堂时间留给理解和创造。

沿用上午的对齐、等分与折叠保距经验，土星老师结合熟悉的案例展开交流。

时间安排

课程内容

14:00—14:15｜从艺术、自然到星空：什么是黄金分割（15分钟）

回看上午三块黄金矩形与正二十面体的联系，再展示本课相框，让孩子知道今天要创造什么。以帕乔利1509年出版的《神圣比例》及达·芬奇相关几何插图，介绍数学与艺术的相遇；不把未经考证的名画叠线图当作创作证据。

观察植物排列与螺旋星系：某些植物的叶序呈现与黄金角有关的规律；星系图片用来激发“螺旋为什么出现”的问题，不宣称星系一定遵循黄金比例。请孩子说“我看见什么”和“还需要怎样验证”。黄金角只作直觉介绍，不增加角度计算任务。

把一条纸带分成长段a和短段b，说明黄金分割的特别之处：整条与长段的比，等于长段与短段的比，即(a+b)/a=a/b。用两张同比例图叠合感受，不要求此时解方程。这个比值约1.618；它不是所有美的唯一标准。

14:15—14:30｜勾股定理：从面积看懂斜边（15分钟）

先指认直角、两条直角边和斜边。用3、4、5方格面积图直观看到9+16=25，再用同一大正方形内四块全等直角三角形的两种摆法：一种留出斜边正方形，另一种留出两块直角边正方形。外框不变、移走的三角形相同，剩余面积相等。

由土星老师带大家共同拼摆，得出“直角三角形两条直角边上的正方形面积之和，等于斜边上的正方形面积”。写a²+b²=c²时，把每个平方重新指回面积。所有孩子都参与这个直觉过程；熟悉公式的大孩子用纸片解释给伙伴听，不用背公式代替理解。

14:30—14:40｜认识√5：多少的平方等于5（10分钟）

在边长2个单位的正方形ABCD上标底边AB的中点M，连接M与右上角C。直角三角形MBC的两直角边是1和2，因此MC²=1²+2²=5。

“有一条正的长度，它乘自己等于5，我们把它记作√5。”2²=4、3²=9，所以它在2和3之间；√5约2.236，近似值不等于精确值。平方是数与自身相乘，不是乘2；√5也不是5除以2。孩子可以指认面积为5的正方形边长，无需统一进行根式运算。

14:40—15:00｜折出黄金矩形：让长度搬家（20分钟）

每人使用约20×36厘米长方形纸。以短边20厘米为正方形边长，在纸左侧用邻边重合折出20×20厘米正方形的边界，保留右侧余纸；展开，标左下A、右下B、右上C、左上D。对折AB确定中点M。

把C折向底边AB的右侧延长线，同时让折痕经过M；轻调到两个条件同时满足，标出C落下的位置E，再展开。M在折痕上保持不动，因此MC=ME。不是随意把C压到底边，折痕必须经过M。用穿过E且垂直于底边的折线确定右边界，向后折起多余部分，得到高度AD、底边AE的矩形。

用边长2个单位说明：AM=1，ME=√5，所以AE=1+√5，高为2，长短比为(1+√5)/2≈1.618。20厘米高的纸上，目标长约32.36厘米。先检查四个直角，再量长短边；偏差用于找折痕、对齐和读数的问题，不排名。动作困难时用标好M的纸或活动线段理解等长，再继续自己的作品。

15:00—15:10｜休息（10分钟）

放下工具、饮水和自由活动，在约定范围内休息。需要时到农场透透气，按约定时间回到创生空间；不将这十分钟变成额外练习。

15:10—15:25｜大里有小：不断出现的黄金矩形（15分钟）

在黄金矩形的一端用短边确定一个正方形，只折或画分界，不剪散。看剩下的矩形，转90度，再取一个正方形；之后保持同一旋转方向重复4—6次，以纸张大小和折痕清晰度为准。给各块正方形编序号，用两种颜色区分“本次正方形”和“剩下的矩形”。

孩子用外形比较、尺寸或叠合观察：变小了，比例关系仍一样。纸上有厚度、笔迹与误差，不能真的无限折下去；理想数学中的规则却可以一直重复。进阶共同推导：φ²=φ+1，所以1/(φ−1)=φ，剩下的矩形转向后仍是黄金矩形。无需所有孩子完成代数证明。

15:25—15:50｜黄金螺旋相框：让数学成为作品（25分钟）

前8分钟：依照分割的旋转方向，在相邻正方形中依次画四分之一圆弧，半径取该正方形边长。先在大示范图上指出圆心与弧端点，再让孩子用圆规或圆弧模板连接；圆弧在公共边的端点衔接，不把每块圆心都选成同一个方向。可先描浅线核对连续性，再上色。作品称“黄金螺旋相框”，其中圆弧拼接是对黄金螺旋的近似表现，不是精确的对数螺旋。

中间12分钟：将保留分割线和螺旋的黄金矩形固定在稍大的硬卡底板上。在最大正方形内选择不遮住主要圆弧的位置，粘四个纸角套，插入自己画的小画卡（也可以日后换照片）；用预折支架贴在背面，成为可以摆放、替换画卡的相框。画卡大小依各自留白决定，不要求画卡也为黄金矩形。无需当堂切镂空窗口。

最后5分钟：检查角套是否牢靠、画卡是否能取换、支架是否稳定，写名字和一句发现。大孩子先在自己的纸上示范，小伙伴仍亲手完成；保留不同配色与装饰想法。

15:50—16:00｜作品交流：说清一个发现（10分钟）

两人互相展示相框，选一个问题交流：“√5从哪里来？”“哪条长度在折叠时没变？”“为什么小矩形还像大矩形？”不要求每人背完公式。土星老师邀请两三位孩子分享，记录具体理解与仍需支持的步骤。

作品旁写上“我的黄金螺旋相框｜圆弧近似”，可在项目护照画出一个关键折痕。相框可留在创生空间展示，按当天安排收好。下一次用三个黄金矩形探索正二十面体，保留一张未装裱的示范矩形作衔接。

混龄共学与节奏调整

• 共同经历：每个孩子都接触勾股面积关系、√5的含义、黄金矩形构造及相框制作；不同之处是解释的深度，不是能否参加。
• 需要支持：使用大纸、预标中点、分步样品和圆弧模板；完成3—4次清晰分割即可。可以用指认、纸片和口述表达。
• 继续深入：解释折叠保距、推导φ，或验证剩余矩形仍保持比例；不以年龄直接划分能力。
• 若折叠多用5分钟，将细分减少到3—4次、简化上色，把时间留给装配。更复杂的装饰、根号近似计算和完整代数推导作为自由延伸；保留勾股与√5的基本讲解、休息和相框成品。
• 本次不再要求换尺寸完整重做两轮黄金矩形，把原有重复测量时间用于递归细分和作品。相框底板与支架预制是两小时安排的条件；若从零裁制复杂相框，应另设自由创作时段。

学习观察

看孩子是否能指出一个比例关系、用图形说明√5的来处、解释一段折叠前后不变的长度，或描述细分规则。记录相框中的一次自主设计和一次互助，不打能力总分，不用作品精致度代替理解。允许有些概念先留下印象，在下一次建模中重访。

备课依据与事实边界

• 本地参考：《黄金分割折纸—讲师手册》（用户提供目录），保留中点—斜线—折叠保距的构造主线；本课按7—15岁混龄扩展作品任务。
• 大都会艺术博物馆：《Divina proportione》：帕乔利、达·芬奇相关插图与1509年版本；历史引入采用可追溯作品。
• MathWorld：黄金矩形：比例与递归分割、几何构造。课堂实物的测量支持理解，不能替代一般证明。
• 植物叶序与黄金角研究：某些植物排列与黄金角有关，不表示所有植物均严格符合，也不把黄金角等同于一条黄金螺旋。
• NASA：螺旋星系：观察宇宙中的螺旋形态，不据图片外形宣布黄金比例。
• 圆弧相接的作品是近似螺旋；“无限细分”指理想数学规则可无限延续，不是纸张真的能折出无限层，也没有最后一块“无限小矩形”。